Οι πρώτες αναφορές στη διδασκαλία των πραγματικών προβλημάτων και των εφαρμογών επισημαίνονται στη «Βίβλο» των Νέων Μαθηματικών (New Mathematics),ένα ιστορικό κείμενο που σηματοδότησε την κυριαρχία της έννοιας της μαθηματικής δομής στα σχολικά Μαθηματικά. Οι αναφορές γίνονται από τον Albert Tucker και επικεντρώνονται στη διδασκαλία εκείνων των Μαθηματικών που επιτρέπουν να φανούν οι εφαρμογές τους. Προφανώς, η όλη εισήγηση ήταν τελείως αντίθετη με το «κλίμα» της εποχής, γι' αυτό και δεν της δόθηκε προσοχή.
Το ίδιο ακριβώς συνέβη και με τις εισηγήσεις του συνεδρίου της Utrecht το 1967. Στο συνέδριο αυτό ο Freudenthal (1968) επισημαίνει ότι «...η διδασκαλία των Μαθηματικών εντελώς θεωρητικά, χωρίς αναφορά και συσχέτιση με τις εφαρμογές τους αλλά με την "κρυφή ελπίδα" ότι οι μαθητές θα είναι ικανοί να τα χρησιμοποιήσουν όποτε χρειαστεί, αποδείχτηκε μάταιος κόπος». Στο ίδιο συνέδριο ο Murray Klamkin (1968) παρουσιάζει μια διάλεξη με τίτλο «Γιατί (πρέπει) να διδάσκουμε τα Μαθηματικά έτσι ώστε να είναι χρήσιμα» και σπεύδει να διευκρινίσει ότι «...το να είναι χρήσιμα δεν σημαίνει τη διδασκαλία εφαρμοσμένων Μαθηματικών αλλά τη διδασκαλία των Μαθηματικών έτσι ώστε να μπορούν να εφαρμοστούν». Τέλος, ο Pollak (1968) επισημαίνει ότι δεν είναι σωστό να θεωρούμε τη διδασκαλία των εφαρμοσμένων Μαθηματικών με διαφορετικό τρόπο από τη διδασκαλία των θεωρητικών. Αν αυτό συμβαίνει, τότε διδάσκουμε τα θεωρητικά Μαθηματικά με κακό τρόπο. Η στάση και για τα δύο θα 'πρεπε να είναι: «Να μια κατάσταση, σκέψου γι' αυτήν».
Οπως επισημάναμε στην αρχή, η ασυμβατότητα των πανεπιστημιακών σπουδών με τις κοινωνικές ανάγκες στην Αγγλία είχε ως αποτέλεσμα την ανάπτυξη μαθημάτων (courses) εφαρμοσμένων μαθηματικών. Γρήγορα όμως η κατάσταση έφθασε σε αδιέξοδο. Τα Μαθηματικά ήδη είχαν αρχίσει να χρησιμοποιούνται από πολλές επιστήμες, έτσι ώστε η διδασκαλία των εφαρμογών να δίνει μια πολύ περιορισμένη εικόνα του τρόπου με τον οποίο τα Μαθηματικά εφαρμόζονται σε άλλα επιστημονικά πεδία. Τον πρώτο σημαντικό σταθμό τον επισημαίνουμε το 1970 με το άρθρο των Ford and Hall (1970). Στο άρθρο αυτό προτείνεται αντί για τη διδασκαλία των εφαρμογών να διδάσκονται οι γενικές αρχές με τις οποίες διαπραγματευόμαστε ένα πραγματικό πρόβλημα, δηλαδή η διαδικασία της μοντελοποίησης να αποτελέσει αντικείμενο διδασκαλίας. Την ίδια χρονιά, οι Hall and Whitcobe (1970) παρουσιάζουν μια σειρά μαθημάτων για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση που βασίζεται στη μοντελοποίηση καθημερινών καταστάσεων.
Τη δεκαετία αυτή οι δημοσιεύσεις για τη διδασκαλία της μοντελοποίησης έχουν αυξηθεί σημαντικά. Μια καλή επισκόπηση της σχετικής βιβλιογραφίας της εποχής αυτής γίνεται από τον Pollak (1979). Το 1977 ο Ιάπωνας S. Shimada, θέλοντας να αντιμετωπίσει μερικά σοβαρά προβλήματα της παραδοσιακής διδασκαλίας, εισάγει τον όρο «ανοιχτό πρόβλημα», μέσα στον οποίο συμπεριλαμβάνει και προβλήματα του εμπειρικού - φυσικού Κόσμου. Με άλλα λόγια, από την εποχή αυτή τα πραγματικά προβλήματα αρχίζουν να γίνονται αντικείμενο έρευνας της Διδακτικής των Μαθηματικών. Ο δεύτερος μεγάλος σταθμός, κατά τη γνώμη μας, στην εισαγωγή των προβλημάτων, μαθηματικών και πραγματικών, στη διδακτική πράξη, γίνεται με δύο πολύ γνωστά κείμενα. Το πρώτο είναι «An agenda for Action», NCTM (1980), και «Cockroft Report», HMSO (1982), όπου προτείνουν τη διδασκαλία της επίλυσης προβλήματος (Problem Solving) στη διδασκαλία των Μαθηματικών.
Την ίδια περίπου εποχή ο Schoenfeld (1985), αφού ήδη έχει επαναφέρει στο προσκήνιο τις ιδέες του Polya, αναδεικνύει τις γνωστικές και μεταγνωστικές δυσκολίες που ενυπάρχουν τόσο στη βασική έννοια της Ευρετικής (heuristic) όσο και στην ίδια τη διαδικασία της επίλυσης προβλήματος. Επισημαίνουμε όμως ότι μέχρι την εποχή αυτή έχουμε δύο διαφορετικούς κλάδους που αφορούν στο είδος των προβλημάτων: Την επίλυση μαθηματικών προβλημάτων (Mathematical problem solving) και την επίλυση (πιο καλά: τη διαπραγμάτευση) πραγματικών προβλημάτων (Mathematical Modelling and applications ή Applied problem solving). Από τα μέσα της δεκαετίας του '80 και μετά, τα πράγματα εξελίσσονται ραγδαία. Πιο συγκεκριμένα, παρατηρούμε μια τάση για τη σταδιακή ενοποίηση των δύο αυτών κλάδων, βλέπε π.χ. Blum and Niss (1989). Κατά τη γνώμη μας, βασικό ρόλο προς την κατεύθυνση αυτή είχε η σταδιακή συνειδητοποίηση της ομοιότητας που παρουσιάζουν οι δύο διαδικασίες. Φυσικά, δεν παραβλέπουμε κάποιες σοβαρές διαφορές, επιστημολογικού κυρίως χαρακτήρα, αλλά δεν θα επιμείνουμε σε αυτές.
Το αποτέλεσμα της ενοποιητικής τάσης είναι ότι σήμερα αρκετοί ερευνητές, ανάμεσα σε αυτούς και εμείς, αναφέρονται στη «Λύση Προβλήματος» ως μια ενιαία τάση με δύο κλάδους. Εξίσου σημαντικός, όμως, ήταν ο μετασχηματισμός του σκοπού και του ρόλου της Μοντελοποίησης και των εφαρμογών, στο ευρύτερο πλαίσιο της ενοποιημένης Λύσης Προβλήματος, ο οποίος άρχισε να σχηματοποιείται την ίδια περίοδο και παγιώθηκε στη δεκαετία του '90. Πιο συγκεκριμένα, στις αρχές της δεκαετίας του '60 ο σκοπός ήταν «να διδάξουμε εφαρμογές των Μαθηματικών». Στη δεκαετία του '70 ήταν «να δούμε τις γενικές αρχές με τις οποίες διαπραγματευόμαστε τα προβλήματα και τις εφαρμογές, δηλαδή να διδάξουμε τη Μοντελοποίηση». Στις αρχές της δεκαετίας του '80 ήταν «να διδάξουμε τη Λύση Προβλήματος» ως μέρος (ιδιαίτερο κεφάλαιο) του Προγράμματος Σπουδών.
Στη δεκαετία του '90 διαμορφώθηκε το ερώτημα που σήμερα βρίσκεται στην επικαιρότητα και αποτελεί αντικείμενο συστηματικής έρευνας: «Να διδάξουμε Μαθηματικά με την "ενοποιημένη" διαδικασία Λύσης Προβλήματος». Παρατηρούμε, λοιπόν, μία ανατροπή της φιλοσοφίας, που συνέβη μέσα σε περίπου τριάντα χρόνια. Στις δεκαετίες '60 και '70, η διδασκαλία των εφαρμογών και της Μοντελοποίησης δεν είχε σχέση με τη διδασκαλία των Μαθηματικών, κάτι που τονιζόταν με έμφαση, βλέπε π.χ. Greenman (1973). Αντίθετα, σήμερα θεωρούμε ότι η εισαγωγή νέων μαθηματικών εννοιών διαμέσου διαδικασιών επίλυσης προβλήματος βοηθά στη βαθύτερη κατανόησή τους, βλέπε π.χ. «Holton et al» (1999).
-Του ΝΙΚΟΥ ΚΛΑΟΥΔΑΤΟΥ-Eλευθεροτυπία-
Τη δεκαετία αυτή οι δημοσιεύσεις για τη διδασκαλία της μοντελοποίησης έχουν αυξηθεί σημαντικά. Μια καλή επισκόπηση της σχετικής βιβλιογραφίας της εποχής αυτής γίνεται από τον Pollak (1979). Το 1977 ο Ιάπωνας S. Shimada, θέλοντας να αντιμετωπίσει μερικά σοβαρά προβλήματα της παραδοσιακής διδασκαλίας, εισάγει τον όρο «ανοιχτό πρόβλημα», μέσα στον οποίο συμπεριλαμβάνει και προβλήματα του εμπειρικού - φυσικού Κόσμου. Με άλλα λόγια, από την εποχή αυτή τα πραγματικά προβλήματα αρχίζουν να γίνονται αντικείμενο έρευνας της Διδακτικής των Μαθηματικών. Ο δεύτερος μεγάλος σταθμός, κατά τη γνώμη μας, στην εισαγωγή των προβλημάτων, μαθηματικών και πραγματικών, στη διδακτική πράξη, γίνεται με δύο πολύ γνωστά κείμενα. Το πρώτο είναι «An agenda for Action», NCTM (1980), και «Cockroft Report», HMSO (1982), όπου προτείνουν τη διδασκαλία της επίλυσης προβλήματος (Problem Solving) στη διδασκαλία των Μαθηματικών.
Την ίδια περίπου εποχή ο Schoenfeld (1985), αφού ήδη έχει επαναφέρει στο προσκήνιο τις ιδέες του Polya, αναδεικνύει τις γνωστικές και μεταγνωστικές δυσκολίες που ενυπάρχουν τόσο στη βασική έννοια της Ευρετικής (heuristic) όσο και στην ίδια τη διαδικασία της επίλυσης προβλήματος. Επισημαίνουμε όμως ότι μέχρι την εποχή αυτή έχουμε δύο διαφορετικούς κλάδους που αφορούν στο είδος των προβλημάτων: Την επίλυση μαθηματικών προβλημάτων (Mathematical problem solving) και την επίλυση (πιο καλά: τη διαπραγμάτευση) πραγματικών προβλημάτων (Mathematical Modelling and applications ή Applied problem solving). Από τα μέσα της δεκαετίας του '80 και μετά, τα πράγματα εξελίσσονται ραγδαία. Πιο συγκεκριμένα, παρατηρούμε μια τάση για τη σταδιακή ενοποίηση των δύο αυτών κλάδων, βλέπε π.χ. Blum and Niss (1989). Κατά τη γνώμη μας, βασικό ρόλο προς την κατεύθυνση αυτή είχε η σταδιακή συνειδητοποίηση της ομοιότητας που παρουσιάζουν οι δύο διαδικασίες. Φυσικά, δεν παραβλέπουμε κάποιες σοβαρές διαφορές, επιστημολογικού κυρίως χαρακτήρα, αλλά δεν θα επιμείνουμε σε αυτές.
Το αποτέλεσμα της ενοποιητικής τάσης είναι ότι σήμερα αρκετοί ερευνητές, ανάμεσα σε αυτούς και εμείς, αναφέρονται στη «Λύση Προβλήματος» ως μια ενιαία τάση με δύο κλάδους. Εξίσου σημαντικός, όμως, ήταν ο μετασχηματισμός του σκοπού και του ρόλου της Μοντελοποίησης και των εφαρμογών, στο ευρύτερο πλαίσιο της ενοποιημένης Λύσης Προβλήματος, ο οποίος άρχισε να σχηματοποιείται την ίδια περίοδο και παγιώθηκε στη δεκαετία του '90. Πιο συγκεκριμένα, στις αρχές της δεκαετίας του '60 ο σκοπός ήταν «να διδάξουμε εφαρμογές των Μαθηματικών». Στη δεκαετία του '70 ήταν «να δούμε τις γενικές αρχές με τις οποίες διαπραγματευόμαστε τα προβλήματα και τις εφαρμογές, δηλαδή να διδάξουμε τη Μοντελοποίηση». Στις αρχές της δεκαετίας του '80 ήταν «να διδάξουμε τη Λύση Προβλήματος» ως μέρος (ιδιαίτερο κεφάλαιο) του Προγράμματος Σπουδών.
Στη δεκαετία του '90 διαμορφώθηκε το ερώτημα που σήμερα βρίσκεται στην επικαιρότητα και αποτελεί αντικείμενο συστηματικής έρευνας: «Να διδάξουμε Μαθηματικά με την "ενοποιημένη" διαδικασία Λύσης Προβλήματος». Παρατηρούμε, λοιπόν, μία ανατροπή της φιλοσοφίας, που συνέβη μέσα σε περίπου τριάντα χρόνια. Στις δεκαετίες '60 και '70, η διδασκαλία των εφαρμογών και της Μοντελοποίησης δεν είχε σχέση με τη διδασκαλία των Μαθηματικών, κάτι που τονιζόταν με έμφαση, βλέπε π.χ. Greenman (1973). Αντίθετα, σήμερα θεωρούμε ότι η εισαγωγή νέων μαθηματικών εννοιών διαμέσου διαδικασιών επίλυσης προβλήματος βοηθά στη βαθύτερη κατανόησή τους, βλέπε π.χ. «Holton et al» (1999).
-Του ΝΙΚΟΥ ΚΛΑΟΥΔΑΤΟΥ-Eλευθεροτυπία-