ΠΡΩΤΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ (6ος αιώνας π.Χ – 450 π.Χ)Ο πατέρας ή θεμελιωτής της Ελληνικής Θεωρητικής Γεωμετρίας είναι ο Θαλής ο Μιλήσιος (624 – 546 π.Χ), ο οποίος ίδρυσε την Ιωνική σχολή και στον οποίο αποδίδονται τα εξής θεωρήματα:
- Κάθε διάμετρος κύκλου διαιρεί τον κύκλο σε δύο ίσα μέρη.
- Οι γωνίες της βάσης ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες.
- Οι κατά κορυφήν γωνίες είναι ίσες.
- Αν δοθεί η βάση και οι προσκείμενες γωνίες ενός τριγώνου, τότε το τρίγωνο αυτό μπορεί να κατασκευαστεί.
- Κάθε εγγεγραμμένη γωνία σε ημικύκλιο είναι ορθή.
- Οι πλευρές δύο όμοιων τριγώνων είναι μεταξύ τους ανάλογες.
- Το «Θεώρημα του Θαλή» κατά το οποίο δύο ευθείες που τέμνουν τρεις παράλληλες ευθείες ορίζουν μεταξύ τους τμήματα ανάλογα.
Με μαθηματικά προβλήματα ασχολήθηκαν κι άλλοι προσωκρατικοί φιλόσοφοι.
ΟΙ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΙ
Μετά τους Προσωκρατικούς, μεγάλη ώθηση στη μαθηματική σκέψη έδωσαν οι Πυθαγόρειοι (Πυθαγόρεια σχολή) οι οποίοι ασχολήθηκαν ιδιαίτερα με την οντολογική ερμηνεία των αριθμών και των ιδιοτήτων τους, διαχωρίζοντας έτσι την «καθαρή» ή φιλοσοφική Αριθμητική από την πρακτική Αριθμητική ή Λογιστική. Στην αρχή οι Πυθαγόρειοι χώρισαν τους αριθμούς σε άρτιους και περιττούς και μετά, όρισαν πολλά άλλα είδη αριθμών όπως τους αρτιοπέριττους, περισσάρτιους, αρτιάκις άρτιους, τέλειους, υπερτελείς, ελλιπείς, φιλίους, κτλ. Για τον προσδιορισμό των οντολογικών ιδιοτήτων των αριθμών λάμβαναν υπόψη τους τόσο τα γινόμενα όσο και τα αθροίσματα με τα οποία αυτοί παράγονται. Π.χ. Η δεκάδα επειδή προκύπτει από την πρόσθεση των τεσσάρων πρώτων αριθμών ( 1+2+3+4=10), θεωρείται ότι συγκεντρώνει όλα τα προσόντα τους.
Στην Αριθμητική ανακάλυψαν:
- Ότι το άθροισμα των διαδοχικών περιττών αριθμών δίνει πάντα ένα τέλειο τετράγωνο, σύμφωνα με τον τύπο 1+3+5+7+…..(2ν-1)=ν^2 , ενώ το άθροισμα των διαδοχικών άρτιων [2+4+6+8+…..+2ν=ν(ν+1)] ισούται με το μισό του τελευταίου όρου στη σειρά επί τον επόμενό τους αριθμό.
- Τρία είδη αναλογιών : την αριθμητική, τη γεωμετρική και την υπεναντίαν ή αρμονική. Οι ανακαλύψεις τους αυτές εφαρμόστηκαν και στη Μουσική, διότι θεωρήθηκε ότι τα μουσικά διαστήματα αντιστοιχούν στους αριθμητικούς λόγους των μηκών των χορδών, εφόσον η τάση των χορδών παρέμεινε η ίδια.
- Μπορούσαν να εξετάζουν εξισώσεις με ν αγνώστους, τους οποίους παρίσταναν με λέξεις και όχι με σύμβολα.
Οι κυριότερες ανακαλύψεις τους στη Γεωμετρία ήταν οι εξής:
- Ο Πυθαγόρας(1) ανακάλυψε ότι το άθροισμα όλων των γωνιών γύρω από ένα σημείο ισούται με τέσσερις ορθές.
- Απέδειξαν ότι το άθροισμα των γωνιών παντός τριγώνου είναι ίσο με δύο ορθές.
- Διαιρούσαν τα γεωμετρικά σχήματα και τα συνέθεταν με τρίγωνα.
- Ανακάλυψαν τα λεγόμενα «κοσμικά στερεά» που αντιστοιχούν στα τέσσερα στοιχεία του σύμπαντος, δηλαδή το τετράεδρο (φωτιά), το οκτάεδρο (αέρα), το εικοσάεδρο (νερό) και τον κύβο (γη). Στο πέμπτο κανονικό πολύεδρο, το δωδεκάεδρο, αντιστοιχήθηκε αργότερα το στοιχείο του Αιθέρα ή η «σφαίρα τους παντός». Όπως απέδειξε αργότερα η έρευνα, γνώριζαν εμπειρικά την ύπαρξη αυτών των πέντε κανονικών σωμάτων, αλλά όχι και τη γεωμετρική τους κατασκευή, η οποία προϋποθέτει να έχουν λυθεί προηγουμένως τα προβλήματα που σχετίζονται με τα ασύμμετρα μεγέθη, πράγμα που επιτεύχθηκε μόνο τον 4ο αιώνα από τον Θεαίτητο.
- Έθεσαν το πρόβλημα της κατασκευής σχήματος που να είναι ίσο μ’ ένα άλλο δοθέν σχήμα και όμοιο προς ένα άλλο επίσης δοθέν σχήμα.
- Η πιο σημαντική όμως ανακάλυψη από τον Πυθαγόρα, το περίφημο Πυθαγόρειο Θεώρημα που λέει ότι: «το τετράγωνο της υποτεινούσης ενός ορθογώνιου τριγώνου είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο καθέτων πλευρών του».
Προσπαθώντας να υπολογίσουν με το Πυθαγόρειο Θεώρημα τη διαγώνιο ενός τετραγώνου, οδηγήθηκαν στην ανακάλυψη των ασύμμετρων μεγεθών. Η διαγώνιος ενός τετραγώνου είναι ασύμμετρη προς την πλευρά του, δεν σχηματίζει δηλαδή με αυτή ένα «ρητό» λόγο. Αυτό θεωρήθηκε πολύ παράξενο και ανεξήγητο, γιατί πίστευαν ότι τα πάντα είναι αριθμοί και ότι σε κάθε ον αντιστοιχεί ένας αριθμός, ενώ η διαγώνιος του τετραγώνου έδειχνε να παραβιάζει αυτή τη γενική αρχή. Αναγκάστηκαν έτσι να δεχθούν πως εκτός από τα «ρητά» υπάρχουν στη φύση και τα «άρρητα» ή «άλογα» μεγέθη που διαταράσσουν τις αρμονικές σχέσεις. Η ανακάλυψή τους αυτή κλόνισε έτσι τη θεωρία τους περί συμμέτρων μόνο και αρμονικών μεγεθών που υπόκεινται στο λόγο και κατάλαβαν ότι δεν μπορούσαν να προχωρήσουν στις γεωμετρικές τους έρευνες χρησιμοποιώντας μόνο ακέραιους αριθμούς.
Συμπεριέλαβαν επίσης τις μαθηματικές ανακαλύψεις τους σ’ ένα ενιαίο σύστημα, ώστε να μπορούν να μεταδοθούν εύκολα στις επόμενες γενεές. Από την άποψη της μεθοδολογίας, έθεσαν τις πρώτες βάσεις της μαθηματικής επιστήμης και ανήγαγαν την απόδειξη σε μια αυστηρά λογική διαδικασία. Χρησιμοποίησαν ιδιαίτερα σαν αποδεικτική μέθοδο την «εις άτοπον απαγωγή».
Σημείωση: Ο Πυθαγόρας ίδρυσε τη σχολή του στον Κρότωνα της Κάτω Ιταλίας, στην οποία ζούσαν οι μαθητές του και κρατούσαν πλήρη μυστικότητα γι αυτά που μαθαίνανε.